TY - JOUR

T1 - О существовании приближенных решений вариационных задач в нелинейной теории упругости

AU - Klyachin, V. a.

AU - Kuzmin, V. v.

N1 - Работа выполнена при поддержке Математического центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2025-349 от 29.04.2025.

PY - 2025/1/1

Y1 - 2025/1/1

N2 - Обосновываются приближенные методы решения задач в нелинейной теории упругости. Используется вариационный подход, предложенный Дж. Боллом, в котором решение задачи определения формы деформированного тела сводится к решению соответствующей вариационной задачи на минимум функционала запасенной энергии. При этом конкретный вид этого функционала задается типом упругого материала и записывается в интегральной форме. Предлагается конструкция приближенного решения с использованием триангуляции Делоне полигональной области в классе кусочно-линейных невырожденных отображений. Вводится класс отображений, допускающих такое приближение. Доказано, что построенные кусочно-линейные отображения образуют минимизирующую последовательность для функционала запасенной энергии. Также найдены условия, при которых эта последовательность сходится к точному решению исходной вариационной задачи в подходящем классе отображений. Отдельно рассмотрен случай функционалов с линейным ростом — получено интегральное неравенство, обеспечивающее существование приближенного решения. Отмечено, что аналогичные условия естественным образом возникают и для функционалов типа площади в задачах существования капиллярных поверхностей и поверхностей с предписанной средней кривизной.

AB - Обосновываются приближенные методы решения задач в нелинейной теории упругости. Используется вариационный подход, предложенный Дж. Боллом, в котором решение задачи определения формы деформированного тела сводится к решению соответствующей вариационной задачи на минимум функционала запасенной энергии. При этом конкретный вид этого функционала задается типом упругого материала и записывается в интегральной форме. Предлагается конструкция приближенного решения с использованием триангуляции Делоне полигональной области в классе кусочно-линейных невырожденных отображений. Вводится класс отображений, допускающих такое приближение. Доказано, что построенные кусочно-линейные отображения образуют минимизирующую последовательность для функционала запасенной энергии. Также найдены условия, при которых эта последовательность сходится к точному решению исходной вариационной задачи в подходящем классе отображений. Отдельно рассмотрен случай функционалов с линейным ростом — получено интегральное неравенство, обеспечивающее существование приближенного решения. Отмечено, что аналогичные условия естественным образом возникают и для функционалов типа площади в задачах существования капиллярных поверхностей и поверхностей с предписанной средней кривизной.

KW - функционал запасенной энергии

KW - вариационная задача

KW - триангуляция

KW - кусочно-линейная аппрокимация

KW - ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

UR - https://www.scopus.com/inward/record.uri?partnerID=HzOxMe3b&scp=105017250733&origin=inward

U2 - 10.26516/1997-7670.2025.53.51

DO - 10.26516/1997-7670.2025.53.51

M3 - статья

VL - 53

SP - 51

EP - 68

JO - Bulletin of Irkutsk State University, Series Mathematics

JF - Bulletin of Irkutsk State University, Series Mathematics

SN - 1997-7670

ER -