Standard

Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона. / Chekmeneva, Ekaterina A.; Khachkova, Tatyana S.; Lisitsa, Vadim V.

In: Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, Vol. 28, No. 2, 2026, p. 83-98.

Research output: Contribution to journal › Article › peer-review

Harvard

Chekmeneva, EA, Khachkova, TS & Lisitsa, VV 2026, 'Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона', Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, vol. 28, no. 2, pp. 83-98. https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

APA

Chekmeneva, E. A., Khachkova, T. S., & Lisitsa, V. V. (2026). Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона. Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 28(2), 83-98. https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

Vancouver

Chekmeneva EA, Khachkova TS, Lisitsa VV. Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона. Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva. 2026;28(2):83-98. doi: 10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

Author

Chekmeneva, Ekaterina A. ; Khachkova, Tatyana S. ; Lisitsa, Vadim V. / Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона. In: Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva. 2026 ; Vol. 28, No. 2. pp. 83-98.

BibTeX

@article{1d1fa597808c460db61e932cd4f9c1cb,
title = "Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона",
abstract = "В статье рассматривается способ построения предобуславливателя, основанного на методах машинного обучения, для его применения к численному решению уравнения Пуассона при моделировании пористых сред. При решении задачи используется итерационный метод сопряженных градиентов. Для предобуславливания системы линейных алгебраических уравнений предлагается аппроксимировать обратный оператор Лапласа с помощью сверточной нейронной сети архитектуры U-net. Рассматриваются два альтернативных подхода к формированию обучающего набора данных для нейронной сети. Первый метод основан на использовании пар векторов и результатов применения оператора Лапласа к ним. Во втором методе пары для обучения представляют собой векторы невязок, полученные при реализации метода сопряжённых градиентов, и результаты применения оператора Лапласа к ним. При этом процесс обучения нейронной сети основан на минимизации относительной ошибки по норме L^2. Показано, что при применении каждого из представленных методов обучения нейронная сеть архитектуры U-net с пятью сверточными слоями обеспечивает недостаточную точность аппроксимации обратного оператора Лапласа для сокращения количества итераций в применяемом методе сопряжённых градиентов. Поэтому построенный модифицированный метод сопряженных градиентов стабилизируется и обладает неустранимой невязкой.",
keywords = "уравнение Пуассона, метод сопряжённых градиентов, предобуславливатель, машинное обучение, Poisson equation, method of conjugate gradients, preconditioner, machine learning",
author = "Chekmeneva, {Ekaterina A.} and Khachkova, {Tatyana S.} and Lisitsa, {Vadim V.}",
note = "Чекменева, Е. А. Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона / Е. А. Чекменева, Т. С. Хачкова, В. В. Лисица // Журнал Средневолжского математического общества. – 2026. – Т. 28, № 2. – С. 83-98. – DOI 10.15507/2079-6900.28.202602.83-98. – EDN HBFLGV. Постановка задачи выполнена В. Лисицей, разработка и реализация предобуславливателя выполнена Е. Чекменёвой при финансовой поддержке РНФ в рамках гранта N 22-11-00004-П. Численные эксперименты выполнены Т. Хачковой в рамках гос. задания ИМ СО РАН FWNF-2026-0025.",
year = "2026",
doi = "10.15507/2079-6900.28.202602.83-98",
language = "русский",
volume = "28",
pages = "83--98",
journal = "Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva",
issn = "2587-7496",
number = "2",

}

RIS

TY - JOUR

T1 - Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона

AU - Chekmeneva, Ekaterina A.

AU - Khachkova, Tatyana S.

AU - Lisitsa, Vadim V.

N1 - Чекменева, Е. А. Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона / Е. А. Чекменева, Т. С. Хачкова, В. В. Лисица // Журнал Средневолжского математического общества. – 2026. – Т. 28, № 2. – С. 83-98. – DOI 10.15507/2079-6900.28.202602.83-98. – EDN HBFLGV. Постановка задачи выполнена В. Лисицей, разработка и реализация предобуславливателя выполнена Е. Чекменёвой при финансовой поддержке РНФ в рамках гранта N 22-11-00004-П. Численные эксперименты выполнены Т. Хачковой в рамках гос. задания ИМ СО РАН FWNF-2026-0025.

PY - 2026

Y1 - 2026

N2 - В статье рассматривается способ построения предобуславливателя, основанного на методах машинного обучения, для его применения к численному решению уравнения Пуассона при моделировании пористых сред. При решении задачи используется итерационный метод сопряженных градиентов. Для предобуславливания системы линейных алгебраических уравнений предлагается аппроксимировать обратный оператор Лапласа с помощью сверточной нейронной сети архитектуры U-net. Рассматриваются два альтернативных подхода к формированию обучающего набора данных для нейронной сети. Первый метод основан на использовании пар векторов и результатов применения оператора Лапласа к ним. Во втором методе пары для обучения представляют собой векторы невязок, полученные при реализации метода сопряжённых градиентов, и результаты применения оператора Лапласа к ним. При этом процесс обучения нейронной сети основан на минимизации относительной ошибки по норме L^2. Показано, что при применении каждого из представленных методов обучения нейронная сеть архитектуры U-net с пятью сверточными слоями обеспечивает недостаточную точность аппроксимации обратного оператора Лапласа для сокращения количества итераций в применяемом методе сопряжённых градиентов. Поэтому построенный модифицированный метод сопряженных градиентов стабилизируется и обладает неустранимой невязкой.

AB - В статье рассматривается способ построения предобуславливателя, основанного на методах машинного обучения, для его применения к численному решению уравнения Пуассона при моделировании пористых сред. При решении задачи используется итерационный метод сопряженных градиентов. Для предобуславливания системы линейных алгебраических уравнений предлагается аппроксимировать обратный оператор Лапласа с помощью сверточной нейронной сети архитектуры U-net. Рассматриваются два альтернативных подхода к формированию обучающего набора данных для нейронной сети. Первый метод основан на использовании пар векторов и результатов применения оператора Лапласа к ним. Во втором методе пары для обучения представляют собой векторы невязок, полученные при реализации метода сопряжённых градиентов, и результаты применения оператора Лапласа к ним. При этом процесс обучения нейронной сети основан на минимизации относительной ошибки по норме L^2. Показано, что при применении каждого из представленных методов обучения нейронная сеть архитектуры U-net с пятью сверточными слоями обеспечивает недостаточную точность аппроксимации обратного оператора Лапласа для сокращения количества итераций в применяемом методе сопряжённых градиентов. Поэтому построенный модифицированный метод сопряженных градиентов стабилизируется и обладает неустранимой невязкой.

KW - уравнение Пуассона

KW - метод сопряжённых градиентов

KW - предобуславливатель

KW - машинное обучение

KW - Poisson equation

KW - method of conjugate gradients

KW - preconditioner

KW - machine learning

UR - https://www.mendeley.com/catalogue/dc76bfe3-b353-3b6a-a4cc-ae1ce45dce33/

UR - https://www.scopus.com/pages/publications/105044519872

UR - https://elibrary.ru/item.asp?id=91818517

U2 - 10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

DO - 10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

M3 - статья

VL - 28

SP - 83

EP - 98

JO - Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva

JF - Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva

SN - 2587-7496

IS - 2

ER -

ID: 83282851