TY - JOUR

T1 - Коллокационные методы с полиномами четвертой степени на треугольных сетках и их применение для расчета изгиба круглых пластин с отверстиями

AU - Bryndin, Luka Sergeevich

AU - Belyaev, Vasilii Alexeyevich

N1 - This research was carried out within a state task to the Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.

PY - 2024

Y1 - 2024

N2 - Разработан новый коллокационный метод (h-КМ4) численного решения двумерных эллиптических задач со старшими производными второго порядка. В качестве аппроксимации выступали полиномы четвертой степени в треугольных ячейках сетки, сгенерированной в пакете Gmsh. Неизвестные коэффициенты полиномиального разложения определялись из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящей из уравнений коллокации, условий согласования и краевых условий. В h-КМ4 СЛАУ является квадратной, что принципиально отличает его от опубликованных ранее вариантов метода коллокации и наименьших квадратов, в котором выписываются аналогичные уравнения, но СЛАУ переопределена. Последнее приводит к увеличению времени вычислений и необходимости поиска специальных значений весовых коэффициентов, на которые домножаются уравнения приближенной задачи. Численно установлен четвертый порядок сходимости h-КМ4 на гладких тестовых решениях уравнения Пуассона и системы уравнений с частными производными (УЧП), возникающей при расчете изгиба пластин в рамках теории Рейсснера - Миндлина (ТРМ). Продемонстрирована возможность рассчитывать напряженно-деформированное состояние (НДС) достаточно тонких пластин в ТРМ с помощью h-КМ4. Показано, что для решения системы УЧП, описывающей изгиб пластины в рамках теории Кирхгофа - Лява (ТКЛ) в смешанной постановке, необходимо в h-КМ4 увеличивать количество уравнений приближенной задачи. Таким образом, аппроксимация свелась к построению нового варианта метода коллокации и наименьших квадратов (h-МКНК4), имеющего порядок сходимости не хуже третьего. Проведен анализ НДС круглых пластин с отверстиями в зависимости от толщины пластины в ТРМ и ТКЛ, а также от эксцентриситета в случае одного отверстия. Для повышения точности вычислений в задачах с большими градиентами и ограниченной гладкостью решения использовались адаптивные сетки, позволяющие в последнем случае повышать порядок сходимости. Их применение расширило возможности разработанных здесь h-КМ4 и h-МКНК4 по сравнению с предыдущими вариантами метода коллокации и наименьших квадратов, что подтверждено численными экспериментами.

AB - Разработан новый коллокационный метод (h-КМ4) численного решения двумерных эллиптических задач со старшими производными второго порядка. В качестве аппроксимации выступали полиномы четвертой степени в треугольных ячейках сетки, сгенерированной в пакете Gmsh. Неизвестные коэффициенты полиномиального разложения определялись из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящей из уравнений коллокации, условий согласования и краевых условий. В h-КМ4 СЛАУ является квадратной, что принципиально отличает его от опубликованных ранее вариантов метода коллокации и наименьших квадратов, в котором выписываются аналогичные уравнения, но СЛАУ переопределена. Последнее приводит к увеличению времени вычислений и необходимости поиска специальных значений весовых коэффициентов, на которые домножаются уравнения приближенной задачи. Численно установлен четвертый порядок сходимости h-КМ4 на гладких тестовых решениях уравнения Пуассона и системы уравнений с частными производными (УЧП), возникающей при расчете изгиба пластин в рамках теории Рейсснера - Миндлина (ТРМ). Продемонстрирована возможность рассчитывать напряженно-деформированное состояние (НДС) достаточно тонких пластин в ТРМ с помощью h-КМ4. Показано, что для решения системы УЧП, описывающей изгиб пластины в рамках теории Кирхгофа - Лява (ТКЛ) в смешанной постановке, необходимо в h-КМ4 увеличивать количество уравнений приближенной задачи. Таким образом, аппроксимация свелась к построению нового варианта метода коллокации и наименьших квадратов (h-МКНК4), имеющего порядок сходимости не хуже третьего. Проведен анализ НДС круглых пластин с отверстиями в зависимости от толщины пластины в ТРМ и ТКЛ, а также от эксцентриситета в случае одного отверстия. Для повышения точности вычислений в задачах с большими градиентами и ограниченной гладкостью решения использовались адаптивные сетки, позволяющие в последнем случае повышать порядок сходимости. Их применение расширило возможности разработанных здесь h-КМ4 и h-МКНК4 по сравнению с предыдущими вариантами метода коллокации и наименьших квадратов, что подтверждено численными экспериментами.

KW - Kirchhoff–Love theory

KW - Poisson’s equation

KW - Reissner–Mindlin theory

KW - collocation method

KW - plate bending

UR - https://www.scopus.com/record/display.uri?eid=2-s2.0-85191565441&origin=inward&txGid=e6ee84d57469beeca044d177a31f402b

UR - https://www.mendeley.com/catalogue/cbc0a2c9-0230-387a-96b8-f4b2732f43e6/

U2 - 10.21538/0134-4889-2024-30-1-43-60

DO - 10.21538/0134-4889-2024-30-1-43-60

M3 - статья

VL - 30

SP - 43

EP - 60

JO - Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN

JF - Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN

SN - 0134-4889

IS - 1

ER -